Упр.1376 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что число:

1. $$\overline{abba}$$ делится нацело на 11;
2. $$\overline{aaabbb}$$ делится нацело на 37;
3. $$\overline{ababab}$$ делится нацело на 7;
4. $$\overline{abab}-\overline{baba}$$ делится нацело на 9 и на 101.

1. $$abba=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11(91a+10b).$$
   Значит, число $$abba$$ делится нацело на $$11$$.

2. $$aaabbb=100000a+10000a+1000a+100b+10b+b=111000a+111b=111(1000a+b).$$
   Значит, число $$aaabbb$$ делится нацело на $$37$$, так как $$111=37\cdot 3$$.

3. $$ababab=100000a+10000b+1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b).$$
   Так как $$10101=7\cdot 1443$$, то число $$ababab$$ делится нацело на $$7$$.

4. $$abab-baba=(1000a+100b+10a+b)-(1000b+100a+10b+a)$$
   $$=1010a+101b-1010b-101a=909a-909b=909(a-b).$$
   Поскольку $$909=9\cdot 101$$, то число $$abab-baba$$ делится нацело на $$9$$ и на $$101$$.

Ответ

$$abba$$ делится на $$11$$; $$aaabbb$$ делится на $$37$$; $$ababab$$ делится на $$7$$; $$abab-baba$$ делится на $$9$$ и на $$101$$.