Упр.1375 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения:

1. $$17^3+17^2-17$$ кратно 61;
2. $$25^4-125^2$$ кратно 40;
3. $$5\cdot2^{962}-3\cdot2^{961}+2^{960}$$ кратно 60.

1. $$17^3+17^2-17=17(17^2+17-1)=17(289+17-1)=17\cdot 305=17\cdot 5\cdot 61.$$
   Значит, выражение кратно $$61$$.

2. $$25^4-125^2=(5^2)^4-(5^3)^2=5^8-5^6=5^6(5^2-1)=5^6(25-1)=5^6\cdot 24.$$
   Далее
   $$5^6\cdot 24=5^5\cdot 5\cdot 8\cdot 3=5^5\cdot 3\cdot 40.$$
   Значит, выражение кратно $$40$$.

3. $$5\cdot 2^{962}-3\cdot 2^{961}+2^{960}=2^{960}(5\cdot 2^2-3\cdot 2+1).$$
   Тогда
   $$2^{960}(5\cdot 4-6+1)=2^{960}(20-6+1)=2^{960}\cdot 15.$$
   Представим $$15$$ как $$15=4\cdot 15/4$$ не нужно; выделим множитель $$60$$:
   $$2^{960}\cdot 15=2^{958}\cdot 4\cdot 15=2^{958}\cdot 60.$$
   Значит, выражение кратно $$60$$.

Ответ

1) кратно $$61$$; 2) кратно $$40$$; 3) кратно $$60$$.