Упр.1350 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Пусть натуральное число имеет вид $$n=a^2.$$

Рассмотрим любой делитель числа $$n.$$ Если $$d$$ — делитель числа $$n,$$ то ему соответствует парный делитель $$\frac{n}{d}.$$

Для числа $$n=a^2$$ все делители, кроме одного, можно разбить на пары:

$$d \text{ и } \frac{n}{d}.$$

Но при $$d=a$$ получаем

$$\frac{n}{d}=\frac{a^2}{a}=a,$$

то есть этот делитель образует пару сам с собой. Значит, число делителей у квадрата натурального числа состоит из пар делителей и одного непарного делителя.

Следовательно, квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Ответ

Квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.