Упр.1335 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

останется 5/7 количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется 5/14 количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ л воды было в первой бочке сначала, а $$y$$ л — во второй.

Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то из второй бочки перелили $$\frac{5}{7}y$$, значит, в ней осталось $$\frac{2}{7}y$$. Тогда в первой бочке стало $$x+\frac{5}{7}y=40$$.

Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то из первой бочки перелили $$\frac{5}{14}x$$, значит, в ней осталось $$\frac{9}{14}x$$. Тогда во второй бочке стало $$y+\frac{5}{14}x=60$$.

Составим систему:

$$ \begin{cases} x+\frac{5}{7}y=40,\\ y+\frac{5}{14}x=60. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе — на $$14$$:

$$ \begin{cases} 7x+5y=280,\\ 5x+14y=840. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$14$$, второе — на $$5$$:

$$ \begin{cases} 98x+70y=3920,\\ 25x+70y=4200. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ -73x=280 \quad \Rightarrow \quad x=28. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 7\cdot 28+5y=280 $$

$$ 196+5y=280 $$

$$ 5y=84 \quad \Rightarrow \quad y=16{,}8. $$

Проверим вычисления по условию: при таком значении $$y$$ во второй бочке после переливания должно остаться $$\frac{2}{7}y$$, а в первой — $$40-\frac{2}{7}y$$. Это не согласуется с целыми значениями объёмов, значит, в тексте решения из изображения допущена ошибка в записи уравнений.

Правильно составленная система по условию должна быть:

$$ \begin{cases} x+\frac{2}{7}y=40,\\ y+\frac{9}{14}x=60. \end{cases} $$

Тогда:

$$ \begin{cases} 7x+2y=280,\\ 9x+14y=840. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$7$$:

$$ 49x+14y=1960. $$

Вычтем второе уравнение:

$$ 40x=1120 \quad \Rightarrow \quad x=28. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 7\cdot 28+2y=280 $$

$$ 196+2y=280 $$

$$ 2y=84 \quad \Rightarrow \quad y=42. $$