Упр.13.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 13.42. Докажите, что значение выражения $$1\,111\,111\,111 — 22\,222$$ является квадратом натурального числа.

Преобразуем выражение:

$$1\,111\,111\,111-22\,222=11\,111\cdot(100\,001-2)=11\,111\cdot99\,999.$$

Заметим, что

$$99\,999=9\cdot11\,111,$$

тогда

$$11\,111\cdot99\,999=11\,111\cdot9\cdot11\,111=9\cdot(11\,111)^2=(3\cdot11\,111)^2.$$

Следовательно,

$$1\,111\,111\,111-22\,222=(33\,333)^2,$$

то есть значение выражения является квадратом натурального числа.

Ответ

$$(33\,333)^2$$