Упр.13.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 13.21. Докажите, что значение выражения: 1) $$19^5+19^4$$ кратно 20; 2) $$8^{10}-8^9-8^8$$ кратно 11; 3) $$8^7+2^{15}$$ кратно 5; 4) $$2\cdot3^{2006}+5\cdot3^{2005}+7\cdot3^{2004}$$ кратно 10; 5) $$27^4-9^5$$ кратно 24; 6) $$12^4-4^6$$ кратно 130.

1. $$19^5+19^4=19^4(19+1)=19^4\cdot 20,$$
   значит, выражение кратно $$20$$.
2. $$8^{10}-8^9-8^8=8^8(8^2-8-1)=8^8(64-9)=8^8\cdot 55=8^8\cdot 5\cdot 11,$$
   значит, выражение кратно $$11$$.
3. $$8^7+2^{15}=(2^3)^7+2^{15}=2^{21}+2^{15}=2^{15}(2^6+1)=2^{15}(64+1)=2^{15}\cdot 65=2^{15}\cdot 13\cdot 5,$$
   значит, выражение кратно $$5$$.
4. $$2\cdot 3^{2006}+5\cdot 3^{2005}+7\cdot 3^{2004}=3^{2004}(2\cdot 3^2+5\cdot 3+7)=3^{2004}(18+15+7)=3^{2004}\cdot 40=3^{2004}\cdot 4\cdot 10,$$
   значит, выражение кратно $$10$$.
5. $$27^4-9^5=(3^3)^4-(3^2)^5=3^{12}-3^{10}=3^{10}(3^2-1)=3^{10}(9-1)=3^{10}\cdot 8=3^9\cdot 3\cdot 8=3^9\cdot 24,$$
   значит, выражение кратно $$24$$.
6. $$12^4-4^6=(2^2\cdot 3)^4-(2^2)^6=2^8\cdot 3^4-2^{12}=2^8(3^4-2^4)=2^8(81-16)=2^8\cdot 65=2^7\cdot 2\cdot 65=2^7\cdot 130,$$
   значит, выражение кратно $$130$$.

Ответ

1) кратно $$20$$; 2) кратно $$11$$; 3) кратно $$5$$; 4) кратно $$10$$; 5) кратно $$24$$; 6) кратно $$130$$.