Упр.1288 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Любое натуральное число, не делящееся нацело на 3, при делении на 3 даёт остаток 1 или 2. Значит, такие числа можно записать в виде $$3n+1$$ и $$3m+2$$, где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа или ноль.

Рассмотрим разность их квадратов:

$$(3n+1)^2-(3m+2)^2 =9n^2+6n+1-(9m^2+12m+4)$$

$$=9n^2-9m^2+6n-12m-3 =3(3n^2-3m^2+2n-4m-1).$$

Получили произведение числа 3 на целое выражение, значит, разность квадратов данных чисел кратна 3.

Ответ

Разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.