Упр.1279 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) $$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$;
2) $$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$;
3) $$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$;
4) $$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$;
5) $$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$.

Подробный ответ

$$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} x+y=0,\\ x-3=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=3$$, $$y=-3$$.
$$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$
Заметим, что $$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$$. Тогда
$$(x+2y-3)^2+(x-2y)^2=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x+2y-3=0,\\ x-2y=0. \end{cases}$$
Складываем уравнения: $$2x=3$$, значит $$x=1{,}5$$. Тогда $$2y=1{,}5$$, откуда $$y=0{,}75$$.
$$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$
Так как модуль и квадрат неотрицательны, то
$$\begin{cases} x-3y-6=0,\\ 9x+6y-32=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2x-6y=12.$$
Сложим с вторым уравнением:
$$\begin{cases} 2x-6y=12,\\ 9x+6y=32 \end{cases} \Rightarrow 11x=44 \Rightarrow x=4.$$
Тогда $$4-3y=6$$, значит $$y=-\dfrac{2}{3}$$.
$$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$
Дополняем до квадратов:
$$x^2+10x+25+y^2-12y+36=0$$
$$(x+5)^2+(y-6)^2=0.$$
Значит,
$$\begin{cases} x+5=0,\\ y-6=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=-5$$, $$y=6$$.
$$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$
Представим выражение в виде суммы квадратов:
$$25x^2-30xy+9y^2+y^2+8y+16=0$$
$$(5x-3y)^2+(y+4)^2=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} 5x-3y=0,\\ y+4=0. \end{cases}$$
Тогда $$y=-4$$, а из $$5x-3(-4)=0$$ получаем $$5x=-12$$, значит $$x=-2{,}4$$.