Упр.1233 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите графически систему уравнений:
   1. $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x+2y=3; \end{cases}$$
   2. $$\begin{cases} |y-2x|=3,\\ x-2y=0; \end{cases}$$
   3. $$\begin{cases} x^2-2xy+y^2=4,\\ |x+y|=2. \end{cases}$$
2. К некоторому двузначному числу слева и справа дописали цифру 1. В результате получили число, которое в $$21$$ раз больше данного. Найдите данное двузначное число.

1. $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x+2y=3. \end{cases}$$

   Первое уравнение разложим на множители:

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0.$$

   Значит, либо $$x=y$$, либо $$x=-y$$.

   1) Если $$x=y$$, то из $$x+2y=3$$ получаем $$3x=3$$, откуда $$x=1$$, $$y=1$$.

   2) Если $$x=-y$$, то из $$x+2y=3$$ получаем $$-y+2y=3$$, откуда $$y=3$$, $$x=-3$$.

   Итак, решения системы: $$(1;1)$$ и $$(-3;3)$$.

2. $$\begin{cases} |y-2x|=3,\\ x-2y=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения: $$x=2y$$, значит $$y=\dfrac{x}{2}$$.

   Первое уравнение равносильно двум случаям:

   $$y-2x=3 \quad \text{или} \quad y-2x=-3.$$

   Тогда:

   $$y=2x+3 \quad \text{или} \quad y=2x-3.$$

   Решим поочерёдно с $$y=\dfrac{x}{2}$$:

   $$\begin{cases} y=2x+3,\\ y=\dfrac{x}{2} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=2x+3 \Rightarrow x=-2,\ y=-1;$$

   $$\begin{cases} y=2x-3,\\ y=\dfrac{x}{2} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=2x-3 \Rightarrow x=2,\ y=1.$$

   Итак, решения системы: $$(-2;-1)$$ и $$(2;1)$$.

3. $$\begin{cases} x^2-2xy+y^2=4,\\ |x+y|=2. \end{cases}$$

   Первое уравнение преобразуем:

   $$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,$$

   поэтому

   $$(x-y)^2=4 \Rightarrow x-y=2 \ \text{или}\ x-y=-2.$$

   Из второго уравнения:

   $$x+y=2 \ \text{или}\ x+y=-2.$$

   Рассмотрим все сочетания:

   $$\begin{cases} x-y=2,\\ x+y=2 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=0;$$

   $$\begin{cases} x-y=2,\\ x+y=-2 \end{cases} \Rightarrow x=0,\ y=-2;$$

   $$\begin{cases} x-y=-2,\\ x+y=2 \end{cases} \Rightarrow x=0,\ y=2;$$

   $$\begin{cases} x-y=-2,\\ x+y=-2 \end{cases} \Rightarrow x=-2,\ y=0.$$

   Итак, решения системы: $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;0),\ (0;-2)$$.

4. Пусть двузначное число равно $$a$$. Тогда после приписывания цифры 1 слева и справа получаем число $$1000+10a+1$$.

   По условию это число в 21 раз больше исходного:

   $$1000+10a+1=21a.$$

   $$1001=11a,$$

   $$a=91.$$

Ответ

1) $$(1;1),\ (-3;3)$$; 2) $$(-2;-1),\ (2;1)$$; 3) $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;0),\ (0;-2)$$; 4) $$91$$.