Упр.1233 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) система
х2 — у2 = 0,
х+2у=3;
2) система
|y-2x|=3,
x-2y=0;
3) система
x2-2xy+y2=4,
|х+у|= 2. К некоторому двузначному числу слева и справа дописали цифру 1. В результате получили число, которое в 21 раз больше данного. Найдите данное двузначное число.

1. $$ \begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x+2y=3. \end{cases} $$

   Первое уравнение разложим на множители:

   $$ x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0. $$

   Значит, либо $$x=y$$, либо $$x=-y$$.

   1) Если $$x=y$$, то из $$x+2y=3$$ получаем $$3x=3$$, откуда $$x=1$$, $$y=1$$.

   2) Если $$x=-y$$, то из $$x+2y=3$$ получаем $$-y+2y=3$$, откуда $$y=3$$, $$x=-3$$.

   Итак, решения системы: $$ (1;1) $$ и $$ (-3;3) $$.

2. $$ \begin{cases} |y-2x|=3,\\ x-2y=0. \end{cases} $$

   Из второго уравнения: $$x=2y$$, значит $$y=\dfrac{x}{2}$$.

   Первое уравнение равносильно двум случаям:

   $$ y-2x=3 \quad \text{или} \quad y-2x=-3. $$

   Тогда:

   $$ y=2x+3 \quad \text{или} \quad y=2x-3. $$

   Решим поочерёдно с $$y=\dfrac{x}{2}$$:

   $$ \begin{cases} y=2x+3,\\ y=\dfrac{x}{2} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=2x+3 \Rightarrow x=-2,\ y=-1; $$

   $$ \begin{cases} y=2x-3,\\ y=\dfrac{x}{2} \end{cases} \Rightarrow \dfrac{x}{2}=2x-3 \Rightarrow x=2,\ y=1. $$

   Итак, решения системы: $$(-2;-1)$$ и $$(2;1)$$.

3. $$ \begin{cases} x^2-2xy+y^2=4,\\ |x+y|=2. \end{cases} $$

   Первое уравнение преобразуем:

   $$ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2, $$

   поэтому

   $$ (x-y)^2=4 \Rightarrow x-y=2 \ \text{или}\ x-y=-2. $$

   Из второго уравнения:

   $$ x+y=2 \ \text{или}\ x+y=-2. $$

   Рассмотрим все сочетания:

   $$ \begin{cases} x-y=2,\\ x+y=2 \end{cases} \Rightarrow x=2,\ y=0; $$

   $$ \begin{cases} x-y=2,\\ x+y=-2 \end{cases} \Rightarrow x=0,\ y=-2; $$

   $$ \begin{cases} x-y=-2,\\ x+y=2 \end{cases} \Rightarrow x=0,\ y=2; $$

   $$ \begin{cases} x-y=-2,\\ x+y=-2 \end{cases} \Rightarrow x=-2,\ y=0. $$

   Итак, решения системы: $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;0),\ (0;-2)$$.

4. Пусть двузначное число равно $$a$$. Тогда после приписывания цифры 1 слева и справа получаем число $$1000+10a+1$$.

   По условию это число в 21 раз больше исходного:

   $$ 1000+10a+1=21a. $$

   $$ 1001=11a, $$

   $$ a=91. $$

Ответ

1) $$(1;1),\ (-3;3)$$; 2) $$(-2;-1),\ (2;1)$$; 3) $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;0),\ (0;-2)$$; 4) $$91$$.