Упр.1231 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

система
х + у = 5,
Зх -mу = n:
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
Половину конфет расфасовали в мешочки по 500 г в каждый, а вторую половину — в меньшие мешочки по 300 г в каждый. Всего получилось 32 мешочка. Сколько было конфет?

Подробный ответ

1) Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$ \begin{cases} x+y=5 \\ 3x-my=n \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3x+3y=15 \\ 3x-my=n \end{cases} $$

Для совпадения прямых коэффициенты при $$y$$ и свободные члены должны быть одинаковыми:

$$ -m=3,\quad n=15 $$

Значит, $$m=-3,\ n=15$$.

2) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Это происходит, когда они не параллельны, то есть коэффициенты при $$y$$ не пропорциональны:

$$ -m \ne 3 \quad \Rightarrow \quad m \ne -3 $$

При любом $$n$$ система тогда имеет единственное решение.

3) Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Значит, коэффициенты при $$y$$ должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$ -m=3,\quad n\ne 15 $$

Следовательно, $$m=-3,\ n\ne 15$$.