Упр.1230 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Подберите такие значения $$a$$ и $$b$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}x-2y=3,\\ ax+4y=b\end{cases}$$: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений.
- С одного поля собрали по $$45\ \text{ц}$$ пшеницы с гектара, а с другого — по $$40\ \text{ц}$$ с гектара. Всего собрали $$1900\ \text{ц}$$. На следующий год в связи с засухой урожайность первого поля уменьшилась на $$20\%$$, второго — на $$15\%$$, а в результате всего с двух полей собрали меньше на $$330\ \text{ц}$$. Найдите площадь каждого поля.
Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Умножим первое уравнение на $$-2$$:
$$x-2y=3 \\ -2x+4y=-6$$
Тогда второе уравнение должно совпадать с полученным:
$$ax+4y=b$$
Значит, $$a=-2$$ и $$b=-6$$.
Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. После умножения первого уравнения на $$-2$$ получаем:
$$-2x+4y=-6$$
Если $$a\ne -2$$, то коэффициенты при $$x$$ не пропорциональны, значит прямые пересекаются и решение единственно. При этом $$b$$ может быть любым числом.
Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны. Тогда коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет:
$$a=-2,\quad b\ne -6.$$
Ответ
1) $$a=-2,\ b=-6$$;
2) $$a\ne -2,\ b$$ — любое число;
3) $$a=-2,\ b\ne -6$$.
