Упр.1223 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Имеет ли решение система уравнений:
   
   1) $$\begin{cases}2x-7y=6,\\8x-28y=24;\end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases}2x+y=-2,\\6x+3y=9;\end{cases}$$
   
   3) $$\begin{cases}x+2y=0{,}5,\\2x+4y=2.\end{cases}$$
2. При каком значении $$a$$ сумма $$x+y$$ принимает наименьшее значение, если
   $$\begin{cases}2x+3y=2a^2-12a+8,\\13x-2y=3a^2+8a+12?\end{cases}$$

1. 1) Умножим первое уравнение на $$4$$:

   $$\begin{cases} 2x-7y=6,\\ 8x-28y=24. \end{cases}$$

   Получили одно и то же уравнение, значит, прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

2. 2) Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$\begin{cases} 2x+y=-2,\\ 6x+3y=9. \end{cases}$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 6x+3y=-6,\\ 6x+3y=9. \end{cases}$$

   Левые части одинаковые, а правые разные, значит, система не имеет решений.

3. 3) Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$\begin{cases} x+2y=0{,}5,\\ 2x+4y=2. \end{cases}$$

   Получим

   $$\begin{cases} 2x+4y=1,\\ 2x+4y=2. \end{cases}$$

   Левые части одинаковые, правые разные, значит, система не имеет решений.

4. 4) Найдём, при каком значении $$a$$ сумма $$x+y$$ наименьшая.

   Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе на $$2$$:

   $$\begin{cases} 2x+3y=2a^2-12a+8,\\ 13x-2y=3a^2+8a+12 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} 6x+9y=6a^2-36a+24,\\ 26x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$32x+5y=12a^2-20a+48.$$

   Но удобнее сначала выразить $$y$$ из преобразованной системы:

   $$\begin{cases} 6x+9y=6a^2-36a+24,\\ 6x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$13y=-52a,$$

   откуда

   $$y=-4a.$$

   Подставим в уравнение $$6x-4y=6a^2+16a+24$$:

   $$6x-4(-4a)=6a^2+16a+24$$

   $$6x+16a=6a^2+16a+24$$

   $$6x=6a^2+24$$

   $$x=a^2+4.$$

   Тогда

   $$x+y=a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

   Выражение $$(a-2)^2$$ принимает наименьшее значение, равное $$0$$, при $$a=2$$.

Ответ

1) система имеет бесконечно много решений; 2) решений нет; 3) решений нет; 4) $$a=2$$.