Упр.1223 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) система
2х — 7у = 6,
8х — 28у = 24;
2) система
2 х + у = -2,
6х + 3y = 9;
3) система
х + 2y = 0,5,
2х + 4y=2? При каком значении а сумма х + у принимает наименьшее значение, если:
система
2х + 3у = 2а2 -12а + 8,
13х — 2у = 3а2 + 8а +12?

1. 1) Умножим первое уравнение на $$4$$:

   $$ \begin{cases} 2x-7y=6,\\ 8x-28y=24. \end{cases} $$

   Получили одно и то же уравнение, значит, прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений.

2. 2) Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$ \begin{cases} 2x+y=-2,\\ 6x+3y=9. \end{cases} $$

   Тогда

   $$ \begin{cases} 6x+3y=-6,\\ 6x+3y=9. \end{cases} $$

   Левые части одинаковые, а правые разные, значит, система не имеет решений.

3. 3) Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$ \begin{cases} x+2y=0{,}5,\\ 2x+4y=2. \end{cases} $$

   Получим

   $$ \begin{cases} 2x+4y=1,\\ 2x+4y=2. \end{cases} $$

   Левые части одинаковые, правые разные, значит, система не имеет решений.

4. 4) Найдём, при каком значении $$a$$ сумма $$x+y$$ наименьшая.

   Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе на $$2$$:

   $$ \begin{cases} 2x+3y=2a^2-12a+8,\\ 13x-2y=3a^2+8a+12 \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} 6x+9y=6a^2-36a+24,\\ 26x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases} $$

   Сложим уравнения:

   $$ 32x+5y=12a^2-20a+48. $$

   Но удобнее сначала выразить $$y$$ из преобразованной системы:

   $$ \begin{cases} 6x+9y=6a^2-36a+24,\\ 6x-4y=6a^2+16a+24. \end{cases} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$ 13y=-52a, $$

   откуда

   $$ y=-4a. $$

   Подставим в уравнение $$6x-4y=6a^2+16a+24$$:

   $$ 6x-4(-4a)=6a^2+16a+24 $$

   $$ 6x+16a=6a^2+16a+24 $$

   $$ 6x=6a^2+24 $$

   $$ x=a^2+4. $$

   Тогда

   $$ x+y=a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2. $$

   Выражение $$ (a-2)^2 $$ принимает наименьшее значение, равное $$0$$, при $$a=2$$.

Ответ

1) система имеет бесконечно много решений; 2) решений нет; 3) решений нет; 4) $$a=2$$.