Упр.1208 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x-8)^2-(x-4)(x+4)=0$$;
   2) $$(4x-5)(4x+5)-(4x-1)^2=9-2x$$.
2. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$n^7-n$$ кратно $$42$$.

1. $$(x-8)^2-(x-4)(x+4)=0$$

   Раскроем скобки:
   $$x^2-16x+64-(x^2-16)=0$$
   $$x^2-16x+64-x^2+16=0$$
   $$-16x+80=0$$
   $$16x=80$$
   $$x=5$$

2. $$(4x-5)(4x+5)-(4x-1)^2=9-2x$$

   Используем формулы сокращённого умножения:
   $$(4x-5)(4x+5)=16x^2-25$$
   $$(4x-1)^2=16x^2-8x+1$$

   Тогда
   $$16x^2-25-(16x^2-8x+1)=9-2x$$
   $$8x-26=9-2x$$
   $$10x=35$$
   $$x=3{,}5$$

3. Докажем, что $$n^7-n$$ кратно $$42$$ при любом натуральном $$n$$.

   Разложим выражение на множители:
   $$n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$$

   Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$3$$, а одно из чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ чётное. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

   Осталось показать, что выражение
   $$(n^2+n+1)(n^2-n+1)$$
   делится на $$7$$.

   Рассмотрим возможные остатки числа $$n$$ при делении на $$7$$:

   • если $$n\equiv 0,\pm1 \pmod 7$$, то один из множителей $$n^2+n+1$$ или $$n^2-n+1$$ делится на $$7$$;
   • если $$n\equiv \pm2 \pmod 7$$, то $$n^2\equiv 4 \pmod 7$$, и
     $$n^2+n+1 \equiv 4+2+1=7 \equiv 0 \pmod 7$$
   • если $$n\equiv \pm3 \pmod 7$$, то $$n^2\equiv 2 \pmod 7$$, и
     $$n^2-n+1 \equiv 2-3+1=0 \pmod 7$$

   Значит, произведение $$(n^2+n+1)(n^2-n+1)$$ делится на $$7$$.

   Следовательно, $$n^7-n$$ делится и на $$6$$, и на $$7$$. Так как $$6$$ и $$7$$ взаимно просты, то $$n^7-n$$ делится на
   $$6\cdot 7=42$$

Ответ

1) $$x=5$$; 2) $$x=3{,}5$$; 3) $$n^7-n$$ кратно $$42$$ при любом натуральном $$n$$.