Упр.1207 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения $$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98}$$ кратно числу: 1) 15; 2) 240.
2. Можно ли утверждать, что значение выражения $$n^5+2n$$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении $$n$$?

1) Преобразуем выражение:

$$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98} =2^{36}-2^{32}+(2^2)^{100}-(2^2)^{98}$$
$$=2^{32}(2^4-1)+2^{196}(2^4-1) =(2^4-1)(2^{32}+2^{196})$$
$$=15(2^{32}+2^{196}).$$

Следовательно, выражение кратно $$15$$.

Теперь вынесем ещё множитель $$16$$:

$$15(2^{32}+2^{196})=15\cdot 2^4(2^{28}+2^{192})=240(2^{28}+2^{192}).$$

Значит, выражение кратно $$240$$.

2) Рассмотрим выражение $$n^3+2n$$.

Если $$n=3a$$, то

$$n^3+2n=(3a)^3+2\cdot 3a=27a^3+6a=3(9a^3+2a),$$

то есть делится на $$3$$.

Если $$n=3a+1$$, то

$$n^3+2n=(3a+1)^3+2(3a+1)$$
$$=27a^3+27a^2+9a+1+6a+2 =3(9a^3+9a^2+5a+1),$$

значит, тоже делится на $$3$$.

Если $$n=3a+2$$, то

$$n^3+2n=(3a+2)^3+2(3a+2)$$
$$=27a^3+54a^2+36a+8+6a+4 =3(9a^3+18a^2+14a+4),$$

и снова делится на $$3$$.

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ выражение $$n^3+2n$$ делится нацело на $$3$$.

Ответ

1) Да, кратно $$15$$ и $$240$$. 2) Да, можно.