Упр.1203 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 57.
2. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$ равно квадрату некоторого натурального числа.

Преобразуем выражение:

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$$
$$= n(n+3)(n+1)(n+2)+1$$
$$= (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$$

Обозначим $$m=n^2+3n$$. Тогда

$$m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1)^2.$$

Следовательно,

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$

Так как при натуральном $$n$$ число $$n^2+3n+1$$ также натуральное, то данное выражение является квадратом натурального числа.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$$