Упр.1202 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 56.
2. Пусть $$x+y=a$$, $$xy=b$$. Докажите, что:
   1) $$x^2+y^2=a^2-2b$$;
   2) $$x^3+y^3=a^3-3ab$$;
   3) $$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2$$.

Пусть $$x+y=a$$ и $$xy=b$$.

1. Найдём $$x^2+y^2$$:

   $$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$

   Тогда

   $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=a^2-2b.$$

2. Найдём $$x^3+y^3$$:

   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$

   Так как

   $$x^2-xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-3xy=(x+y)^2-3xy=a^2-3b,$$

   то

   $$x^3+y^3=(x+y)(a^2-3b)=a(a^2-3b)=a^3-3ab.$$

3. Найдём $$x^4+y^4$$:

   $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$

   Подставим найденные выражения:

   $$x^4+y^4=(a^2-2b)^2-2b^2$$

   $$=a^4-4a^2b+4b^2-2b^2$$

   $$=a^4-4a^2b+2b^2.$$

Ответ

$$x^2+y^2=a^2-2b,$$

$$x^3+y^3=a^3-3ab,$$

$$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2.$$