Упр.1200 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого пересекает оси координат в точках: 1) $$A(-4; 0)$$ и $$B(0; 2)$$; 2) $$C(0; -3)$$ и $$D(5; 0)$$.
2. Задание учебника 2021 года. Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на $$6$$.

1. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $$ax+by=c.$$

   1) Точки $$A(-4;0)$$ и $$B(0;2)$$ принадлежат графику, значит:

   $$\begin{cases} -4a+0b=c,\\ 0a+2b=c. \end{cases}$$

   Отсюда $$-4a=2b,$$ значит $$b=-2a.$$

   Пусть $$a=-2,$$ тогда $$b=4,$$ а $$c=-4a=8.$$

   Получаем уравнение:

   $$-2x+4y=8.$$

2. 2) Точки $$C(0;-3)$$ и $$D(5;0)$$ принадлежат графику, значит:

   $$\begin{cases} 0a-3b=c,\\ 5a+0b=c. \end{cases}$$

   Отсюда $$-3b=5a,$$ значит $$a=-\frac{3}{5}b.$$

   Пусть $$b=5,$$ тогда $$a=-3,$$ а $$c=5a=-15.$$

   Получаем уравнение:

   $$-3x+5y=-15.$$

3. Докажем, что $$n^3-n$$ делится нацело на $$6$$ при любом натуральном $$n$$:

   $$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$

   Это произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$2,$$ а одно — на $$3.$$ Значит, всё произведение делится на $$2\cdot 3=6.$$

Ответ

1) $$-2x+4y=8.$$ 2) $$-3x+5y=-15.$$ $$n^3-n$$ делится нацело на $$6.$$