Упр.12.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. На доске записаны два двучлена $$x^2+2$$ и $$x+1$$. Разрешается записывать сумму, разность или произведение любых двух записанных многочленов. Можно ли с помощью таких операций получить многочлен $$x^3+2$$?

Проверим, какие многочлены можно получить из данных $$x^2+2$$ и $$x+1$$ с помощью суммы, разности и произведения.

Сумма:

$$(x^2+2)+(x+1)=x^2+x+3.$$

Разность:

$$(x^2+2)-(x+1)=x^2-x+1.$$

Произведение:

$$(x^2+2)(x+1)=x^3+x^2+2x+2.$$

Заметим, что при $$x=-1$$ оба исходных двучлена дают значения, кратные $$3$$:

$$(-1)^2+2=3,\qquad -1+1=0.$$

Тогда для полученных многочленов:

$$x^2+x+3\Big|_{x=-1}=1-1+3=3,$$

$$x^2-x+1\Big|_{x=-1}=1+1+1=3,$$

$$x^3+x^2+2x+2\Big|_{x=-1}=-1+1-2+2=0.$$

А для многочлена $$x^3+2$$ при $$x=-1$$ получаем:

$$(-1)^3+2=-1+2=1.$$

Это значение не кратно $$3$$, значит, такой многочлен нельзя получить из данных двучленов указанными операциями.

Ответ

Нельзя.