Упр.12.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 12.35. На доске записаны два двучлена x^2 + 2 и x + 1. Разрешается записывать сумму, разность или произведение любых двух записанных многочленов. Можно ли с помощью таких операций получить многочлен x^3 +2?

Проверим, какие многочлены можно получить из данных $$x^2+2$$ и $$x+1$$ с помощью суммы, разности и произведения.

Сумма:

$$ (x^2+2)+(x+1)=x^2+x+3. $$

Разность:

$$ (x^2+2)-(x+1)=x^2-x+1. $$

Произведение:

$$ (x^2+2)(x+1)=x^3+x^2+2x+2. $$

Заметим, что при $$x=-1$$ оба исходных двучлена дают значения, кратные $$3$$:

$$ (-1)^2+2=3,\qquad -1+1=0. $$

Тогда для полученных многочленов:

$$ x^2+x+3\Big|_{x=-1}=1-1+3=3, $$

$$ x^2-x+1\Big|_{x=-1}=1+1+1=3, $$

$$ x^3+x^2+2x+2\Big|_{x=-1}=-1+1-2+2=0. $$

А для многочлена $$x^3+2$$ при $$x=-1$$ получаем:

$$ (-1)^3+2=-1+2=1. $$

Это значение не кратно $$3$$, значит, такой многочлен нельзя получить из данных двучленов указанными операциями.

Ответ

Нельзя.