Упр.12.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

12. Докажите тождество: $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=a^3+b^3+c^3-3abc$$

Раскроем скобки в левой части:

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=$$
$$=a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$$

Получаем:

$$=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c$$
$$+ a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc$$
$$+ a^2c+b^2c+c^3-abc-ac^2.$$

Сократим противоположные слагаемые:

$$a^3+b^3+c^3-3abc.$$

Значит,

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=a^3+b^3+c^3-3abc.$$

Ответ

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=a^3+b^3+c^3-3abc.$$