Упр.12.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 12.33. Докажите, что если $$ab+bc+ac=0$$, то $$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$
$$= a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab$$
$$= a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac).$$

По условию $$ab+bc+ac=0$$, значит

$$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2.$$

Следовательно,

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2.$$

Ответ

Доказано.