Упр.12.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2.

Раскроем скобки в левой части:

$$ (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b) $$
$$ = a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab $$
$$ = a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac). $$

По условию $$ab+bc+ac=0$$, значит

$$ a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2. $$

Следовательно,

$$ (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2. $$

Ответ

Доказано.