Упр.12.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 12.32. Остаток при делении натурального числа $$m$$ на $$11$$ равен $$9$$, а остаток при делении натурального числа $$n$$ на $$11$$ равен $$5$$. Докажите, что остаток при делении произведения чисел $$m$$ и $$n$$ на $$11$$ равен $$1$$.

Пусть $$m=11a+9$$ и $$n=11b+5,$$ где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Тогда

$$mn=(11a+9)(11b+5)=121ab+55a+99b+45.$$

Преобразуем:

$$121ab+55a+99b+45=11(11ab+5a+9b+4)+1.$$

Значит, при делении числа $$mn$$ на $$11$$ остаток равен $$1$$.

Ответ

$$1$$