Упр.12.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

12. 23. При всех ли натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)$$ кратно 12?

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)=$$

$$=n^2+11n+9n+99-(n^2+5n+3n+15)$$

$$=n^2+20n+99-n^2-8n-15$$

$$=12n+84=12(n+7).$$

Так как выражение представлено в виде произведения на $$12$$, то оно делится на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Да, при всех натуральных значениях $$n$$ выражение кратно $$12$$.