Упр.12.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 12.22. Докажите тождество:
   1) $$3a^2+10a+3=3(a+3)\left(a+\frac{1}{3}\right);$$
   2) $$(a+1)(a^2+5a+6)=(a^2+3a+2)(a+3);$$
   3) $$(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)=a^5+1.$$

1. Раскроем скобки в правой части:

   $$3(a+3)\left(a+\frac13\right)=(a+3)(3a+1).$$

   Тогда

   $$(a+3)(3a+1)=3a^2+a+9a+3=3a^2+10a+3.$$

   Следовательно, $$3a^2+10a+3=3(a+3)\left(a+\frac13\right).$$

2. Раскроем скобки в обеих частях:

   $$(a+1)(a^2+5a+6)=a^3+5a^2+6a+a^2+5a+6=a^3+6a^2+11a+6,$$

   $$(a^2+3a+2)(a+3)=a^3+3a^2+2a+3a^2+9a+6=a^3+6a^2+11a+6.$$

   Обе части равны, значит, тождество верно.

3. Раскроем скобки в левой части:

   $$(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)=a^5-a^4+a^3-a^2+a+a^4-a^3+a^2-a+1.$$

   Сократим подобные слагаемые:

   $$a^5-a^4+a^3-a^2+a+a^4-a^3+a^2-a+1=a^5+1.$$

   Значит, $$(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)=a^5+1.$$

Ответ

Все три тождества верны.