Упр.12.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 12.21. Докажите тождество:
   1) $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7);$$
   2) $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2;$$
   3) $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4);$$
   4) $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=a^4-1;$$
   5) $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^4+1.$$

1. Раскроем скобки в правой части:

   $$(x-1)(x-7)=x^2-7x-x+7=x^2-8x+7.$$

   Следовательно, $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$

2. Раскроем скобки:

   $$y^2(y-7)(y+2)=y^2(y^2+2y-7y-14)=y^2(y^2-5y-14).$$

   Тогда

   $$y^2(y^2-5y-14)=y^4-5y^3-14y^2.$$

   Значит, $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2.$$

3. Используем формулу разности кубов:

   $$a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4).$$

   Проверим раскрытием скобок:

   $$(a-2)(a^2+2a+4)=a^3+2a^2+4a-2a^2-4a-8=a^3-8.$$

4. Сначала сгруппируем первые два множителя:

   $$(a-1)(a+1)=a^2-1.$$

   Тогда

   $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1.$$

5. Применим формулу разности квадратов:

   $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1) =\bigl((a^4+1)-a^2\bigr)\bigl((a^4+1)+a^2\bigr)$$

   $$=(a^4+1)^2-a^4 =a^8+2a^4+1-a^4 =a^8+a^4+1.$$

Ответ

1) $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7);$$ 2) $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2;$$ 3) $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4);$$ 4) $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=a^4-1;$$ 5) $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^4+1.$$