Задание 12 Параграф 12 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения:

1. $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}$$ кратно $$14$$.
2. $$5^{6n-1}-3\cdot5^{6n-2}+2\cdot5^{6n-3}$$ кратно $$12$$.
3. $$9^{3n+1}-27^{2n-1}$$ кратно $$121$$.

1. $$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}=2^n(1+2+4)=2^n\cdot 7=14\cdot 2^{n-1}.$$
   Значит, выражение кратно $$14$$.

2. $$5^{6n-1}-3\cdot 5^{6n-2}+2\cdot 5^{6n-3}=5^{6n-3}(5^2-3\cdot 5+2).$$

   $$5^{6n-3}(25-15+2)=5^{6n-3}\cdot 12.$$
   Значит, выражение кратно $$12$$.

3. $$9^{3n+1}-27^{2n-1}=(3^2)^{3n+1}-(3^3)^{2n-1}=3^{6n+2}-3^{6n-3}.$$

   $$3^{6n-3}(3^5-1)=3^{6n-3}(243-1)=3^{6n-3}\cdot 242=3^{6n-3}\cdot 121\cdot 2.$$
   Значит, выражение кратно $$121$$.

Ответ

1) кратно $$14$$; 2) кратно $$12$$; 3) кратно $$121$$.