Упр.1199 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Принадлежит ли графику уравнения $$4x — 8y = 7$$ хотя бы одна точка, у которой обе координаты — целые числа?
2. Докажите, что значение выражения $$17^{10} — 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9$$ делится нацело: 1) на 18; 2) на 36.

1) Проверим, может ли уравнение $$4x-8y=7$$ иметь точку с целыми координатами.

Выразим $$y$$:

$$8y=4x-7$$

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{7}{8}$$

Если $$x$$ — целое число, то $$\frac{1}{2}x-\frac{7}{8}$$ не может быть целым числом, так как число $$\frac{7}{8}$$ не является целым. Значит, точек с обеими целыми координатами у графика нет.

2) Докажем делимость выражения $$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9$$.

Преобразуем:

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9 =17^9(17+1)-3\cdot 7^{24}(1-7)$$

$$=17^9\cdot 18+3\cdot 7^{24}\cdot 6 =18\left(17^9+7^{24}\right)$$

Следовательно, выражение делится на $$18$$.

Так как $$17^9$$ и $$7^{24}$$ — нечётные числа, то их сумма чётна:

$$17^9+7^{24}=2k$$

Тогда

$$18\left(17^9+7^{24}\right)=18\cdot 2k=36k$$

Значит, выражение делится и на $$36$$.

Ответ

1) Нет. 2) Делится на $$18$$ и на $$36$$.