Упр.1180 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ график уравнения $$11x-13y=a+4$$ проходит через начало координат?
2. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$ кратно 4.

Начало координат — это точка $$(0;0).$$ Подставим её в уравнение:

$$11x-13y=a+4$$

$$11\cdot 0-13\cdot 0=a+4$$

$$0=a+4$$

$$a=-4$$

Докажем, что выражение

$$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$

кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Раскроем квадрат разности:

$$\begin{aligned} 16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1 &=16n^4-\left(16n^4-16n^3-8n^2+4n^2+4n+1\right)+8n+1 \\ &=16n^4-16n^4+16n^3+4n^2-4n-1+8n+1 \\ &=16n^3+4n^2+4n \\ &=4n(4n^2+n+1). \end{aligned}$$

Получили произведение, содержащее множитель $$4$$, значит выражение кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$a=-4$$; выражение $$16n^4-(4n^2-2n-1)^2+8n+1$$ кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.