Упр.1179 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ пара чисел $$(-4; 2)$$ является решением уравнения:
   
   1) $$3x+5y=a$$;
   
   2) $$ax+5y=18$$?
2. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5$$ кратно 6.

1. Подставим координаты точки $$(-4; 2)$$ в уравнение $$3x+5y=a$$:

   $$3\cdot(-4)+5\cdot2=a$$

   $$-12+10=a$$

   $$a=-2$$

2. Подставим координаты точки $$(-4; 2)$$ в уравнение $$ax+5y=18$$:

   $$a\cdot(-4)+5\cdot2=18$$

   $$-4a+10=18$$

   $$-4a=8$$

   $$a=-2$$

3. Докажем, что выражение

   $$\left(n^2-3n+1\right)^2-n^4-8n^2+3n+5$$

   кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

   Раскроем скобки:

   $$\left(n^2-3n+1\right)^2=n^4-6n^3+11n^2-6n+1$$

   Тогда

   $$\left(n^2-3n+1\right)^2-n^4-8n^2+3n+5 =-6n^3+3n^2-3n+6$$

   Вынесем общий множитель:

   $$-6n^3+3n^2-3n+6 =3\left(-2n^3+n^2-n+2\right)$$

   Преобразуем иначе:

   $$-6n^3+3n^2-3n+6 =-6\left(n^3-1\right)+3n(n-1)$$

   Так как $$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$$, то первое слагаемое кратно $$6$$. Во втором слагаемом произведение $$n(n-1)$$ — это произведение двух последовательных чисел, значит, одно из них чётное, поэтому $$3n(n-1)$$ кратно $$6$$. Следовательно, всё выражение кратно $$6$$.

Ответ

1) $$a=-2$$; 2) $$a=-2$$; выражение кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.