Упр.1174 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел $$(-2; 1)$$.
2. Докажите, что значение выражения $$(a+b-c)(a-b)+(b+c-a)(b-c)+(c+a-b)(c-a)$$ тождественно равно нулю.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $$ax+by=c.$$

Подберём, например, $$a=10$$ и $$b=5.$$ Тогда для пары $$(-2;1)$$ получаем:

$$10\cdot(-2)+5\cdot1=-20+5=-15.$$

Значит, подходит уравнение

$$10x+5y=-15.$$

Докажем тождество:

$$(a+b-c)(a-b)+(b+c-a)(b-c)+(c+a-b)(c-a)=0.$$

Раскроем скобки:

$$(a+b-c)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2-ac+bc+bc-c^2,$$

$$(b+c-a)(b-c)=b^2-bc+bc-c^2-ab+ac,$$

$$(c+a-b)(c-a)=c^2-ac+ac-a^2-bc+ab.$$

Сложим полученные выражения:

$$a^2-ab+ab-b^2-ac+bc+bc-c^2+b^2-bc+bc-c^2-ab+ac+c^2-ac+ac-a^2-bc+ab=0.$$

Все слагаемые взаимно уничтожаются, значит, выражение тождественно равно нулю.

Ответ

$$10x+5y=-15.$$

$$(a+b-c)(a-b)+(b+c-a)(b-c)+(c+a-b)(c-a)\equiv 0.$$