Упр.1174 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения
(а + b — с)(а — b) + (b + с — а)(b — с) + (с + а — b)(с — а) тождественно равно нулю.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид $$ax+by=c.$$

Подберём, например, $$a=10$$ и $$b=5.$$ Тогда для пары $$(-2;1)$$ получаем:

$$10\cdot(-2)+5\cdot1=-20+5=-15.$$

Значит, подходит уравнение

$$10x+5y=-15.$$

Докажем тождество:

$$ (a+b-c)(a-b)+(b+c-a)(b-c)+(c+a-b)(c-a)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ (a+b-c)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2-ac+bc+bc-c^2, $$

$$ (b+c-a)(b-c)=b^2-bc+bc-c^2-ab+ac, $$

$$ (c+a-b)(c-a)=c^2-ac+ac-a^2-bc+ab. $$

Сложим полученные выражения:

$$ a^2-ab+ab-b^2-ac+bc+bc-c^2+b^2-bc+bc-c^2-ab+ac+c^2-ac+ac-a^2-bc+ab=0. $$

Все слагаемые взаимно уничтожаются, значит, выражение тождественно равно нулю.

Ответ

$$10x+5y=-15.$$

$$ (a+b-c)(a-b)+(b+c-a)(b-c)+(c+a-b)(c-a)\equiv 0. $$