Упр.1165 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Найдите какие-нибудь три решения уравнения: 1) $$x-y=10$$; 2) $$2y-5x=11$$.
- Докажите, что число: 1) $$abba$$ делится нацело на 11; 2) $$aaabbb$$ делится нацело на 37; 3) $$ababab$$ делится нацело на 7; 4) $$abab-baba$$ делится нацело на 9 и на 101.
Для уравнения $$x-y=10$$ выразим $$y$$:
$$y=x-10$$
Подберём любые три значения $$x$$ и найдём соответствующие $$y$$:
при $$x=10$$, $$y=0$$;
при $$x=15$$, $$y=5$$;
при $$x=-10$$, $$y=-20$$.
Подходят, например, пары $$\,(10;0),\ (15;5),\ (-10;-20)\,.$$
Для уравнения $$2y-5x=11$$ выразим $$y$$:
$$2y=11+5x$$
$$y=5{,}5+2{,}5x$$
Возьмём три значения $$x$$:
при $$x=2$$, $$y=10{,}5$$;
при $$x=4$$, $$y=15{,}5$$;
при $$x=-2$$, $$y=0{,}5$$.
Подходят, например, пары $$\,(2;10{,}5),\ (4;15{,}5),\ (-2;0{,}5)\,.$$
Докажем делимость.
1) $$abba=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11(91a+10b).$$
Значит, $$abba$$ делится нацело на $$11$$.
2) $$aaabbb=100000a+10000a+1000a+100b+10b+b=111000a+111b=111(1000a+b).$$
Так как $$111=37\cdot 3$$, то $$aaabbb$$ делится нацело на $$37$$.
3) $$ababab=100000a+10000b+1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b).$$
Так как $$10101=7\cdot 1443$$, то $$ababab$$ делится нацело на $$7$$.
4) $$abab-baba=(1000a+100b+10a+b)-(1000b+100a+10b+a)$$
$$=1010a+101b-1010b-101a=909a-909b=909(a-b).$$
Так как $$909=9\cdot 101$$, то $$abab-baba$$ делится нацело и на $$9$$, и на $$101$$.
Ответ
1) $$(10;0),\ (15;5),\ (-10;-20)$$; 2) $$(2;10{,}5),\ (4;15{,}5),\ (-2;0{,}5)$$; 3) $$abba$$ делится на $$11$$, $$aaabbb$$ — на $$37$$, $$ababab$$ — на $$7$$, $$abab-baba$$ — на $$9$$ и на $$101$$.
