Упр.1164 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Выразите из данного уравнения переменную $$y$$ через переменную $$x$$ и найдите какие-нибудь два решения этого уравнения:
   
   1) $$4x-y=7$$;
   
   2) $$-2x+y=11$$;
   
   3) $$5x-3y=15$$.
2. Докажите, что значение выражения:
   
   1) $$17^3+17^2-17$$ кратно $$61$$;
   
   2) $$25^4-125^2$$ кратно $$40$$;
   
   3) $$5\cdot2^{962}-3\cdot2^{961}+2^{960}$$ кратно $$60$$.

1. $$4x-y=7$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=4x-7$$

   Возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=1$$:

   $$x=0 \Rightarrow y=4\cdot 0-7=-7$$

   $$x=1 \Rightarrow y=4\cdot 1-7=-3$$

   Подходящие решения: $$\,(0;-7),\ (1;-3).$$

2. $$-2x+y=11$$

   Выразим $$y$$:

   $$y=11+2x$$

   Возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=1$$:

   $$x=0 \Rightarrow y=11+2\cdot 0=11$$

   $$x=1 \Rightarrow y=11+2\cdot 1=13$$

   Подходящие решения: $$\,(0;11),\ (1;13).$$

3. $$5x-3y=15$$

   Выразим $$y$$:

   $$-3y=15-5x$$

   $$3y=5x-15$$

   $$y=\frac{5}{3}x-5$$

   Чтобы получить целые значения, возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=3$$:

   $$x=0 \Rightarrow y=\frac{5}{3}\cdot 0-5=-5$$

   $$x=3 \Rightarrow y=\frac{5}{3}\cdot 3-5=0$$

   Подходящие решения: $$\,(0;-5),\ (3;0).$$

Докажем делимость.

1. $$17^3+17^2-17=17(17^2+17-1)=17(289+17-1)=17\cdot 305=17\cdot 5\cdot 61.$$

   Следовательно, выражение кратно $$61$$.

2. $$25^4-125^2=(5^2)^4-(5^3)^2=5^8-5^6=5^6(5^2-1)=5^6(25-1)=5^6\cdot 24.$$

   Так как $$24=3\cdot 8$$, то

   $$5^6\cdot 24=5^6\cdot 3\cdot 8=5^5\cdot 3\cdot 40.$$

   Следовательно, выражение кратно $$40$$.

3. $$5\cdot 2^{962}-3\cdot 2^{961}+2^{960}=2^{960}(5\cdot 2^2-3\cdot 2+1).$$

   $$2^{960}(5\cdot 4-6+1)=2^{960}\cdot 15.$$

   $$2^{960}\cdot 15=2^{958}\cdot 4\cdot 15=2^{958}\cdot 60.$$

   Следовательно, выражение кратно $$60$$.

Ответ

1) $$y=4x-7$$, например, $$\,(0;-7),\ (1;-3).$$

2) $$y=11+2x$$, например, $$\,(0;11),\ (1;13).$$

3) $$y=\frac{5}{3}x-5$$, например, $$\,(0;-5),\ (3;0).$$

1) кратно $$61$$; 2) кратно $$40$$; 3) кратно $$60$$.