Упр.1151 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Какой многочлен надо прибавить к многочлену а4 — b4 + a3 — b3 — Заb, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену b4 + 2ab?

1) Сравним произведения:

$$ (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2 $$
и
$$ 1000^{1000}. $$

Левую часть можно записать как

$$ (1\cdot 1000)\cdot(2\cdot 999)\cdot(3\cdot 998)\cdot \ldots \cdot(1000\cdot 1). $$

Правую часть представим как

$$ 1000\cdot 1000\cdot \ldots \cdot 1000 $$
(1000 множителей).

Каждый множитель левой части не меньше соответствующего множителя правой части, а для многих пар — больше. Например,

$$ 2\cdot 999>1000,\quad 3\cdot 998>1000. $$

Значит,

$$ (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000}. $$

2) Пусть к многочлену $$a^4-b^4+a^3-b^3-3ab$$ надо прибавить многочлен $$M$$, чтобы сумма была тождественно равна многочлену $$b^4+2ab$$. Тогда

$$ (a^4-b^4+a^3-b^3-3ab)+M=b^4+2ab. $$

Отсюда

$$ M=b^4+2ab-(a^4-b^4+a^3-b^3-3ab). $$

Раскроем скобки:

$$ M=b^4+2ab-a^4+b^4-a^3+b^3+3ab. $$

Соберём подобные слагаемые:

$$ M=2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab. $$

Ответ

$$ (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000}; \quad 2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab. $$