Упр.1151 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Сравните значения выражений $$\left(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot999\cdot1000\right)^2$$ и $$1000^{1000}$$.
2. Какой многочлен надо прибавить к многочлену $$a^4-b^4+a^3-b^3-3ab$$, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену $$b^4+2ab$$?

1) Сравним произведения:

$$(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2$$
и
$$1000^{1000}.$$

Левую часть можно записать как

$$(1\cdot 1000)\cdot(2\cdot 999)\cdot(3\cdot 998)\cdot \ldots \cdot(1000\cdot 1).$$

Правую часть представим как

$$1000\cdot 1000\cdot \ldots \cdot 1000$$
(1000 множителей).

Каждый множитель левой части не меньше соответствующего множителя правой части, а для многих пар — больше. Например,

$$2\cdot 999>1000,\quad 3\cdot 998>1000.$$

Значит,

$$(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000}.$$

2) Пусть к многочлену $$a^4-b^4+a^3-b^3-3ab$$ надо прибавить многочлен $$M$$, чтобы сумма была тождественно равна многочлену $$b^4+2ab$$. Тогда

$$(a^4-b^4+a^3-b^3-3ab)+M=b^4+2ab.$$

Отсюда

$$M=b^4+2ab-(a^4-b^4+a^3-b^3-3ab).$$

Раскроем скобки:

$$M=b^4+2ab-a^4+b^4-a^3+b^3+3ab.$$

Соберём подобные слагаемые:

$$M=2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab.$$

Ответ

$$(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 999\cdot 1000)^2>1000^{1000}; \quad 2b^4-a^4-a^3+b^3+5ab.$$