Упр.1144 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Графиком уравнения $$\left(x^2+y^2+y\right)^2=x^2+y^2$$ является кривая, которую называют кардиоидой (рис. 48). Найдите координаты её точек пересечения с осями координат.
2. Сравните значения выражений: 1) $$15^5\cdot2^6$$ и $$2^5\cdot15^6$$; 2) $$2^5\cdot3^3\cdot5^4$$ и $$2^4\cdot3^5\cdot5^3$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2+y^2+y\right)^2=x^2+y^2.$$

Пересечение с осью $$Oy$$: положим $$x=0$$.

$$\left(y^2+y\right)^2=y^2$$

$$y^4+2y^3+y^2-y^2=0$$

$$y^3(y+2)=0$$

$$y=0 \text{ или } y=-2.$$

Значит, точки пересечения с осью $$Oy$$: $$(0;0),\ (0;-2).$$

Пересечение с осью $$Ox$$: положим $$y=0$$.

$$\left(x^2\right)^2=x^2$$

$$x^4-x^2=0$$

$$x^2(x^2-1)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=\pm 1.$$

Значит, точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(0;0),\ (-1;0),\ (1;0).$$

2) Сравним выражения.

$$15^5\cdot 2^6 \text{ и } 2^5\cdot 15^6.$$

Вынесем общий множитель:

$$15^5\cdot 2^6=15^5\cdot 2^5\cdot 2=(15\cdot 2)^5\cdot 2=30^5\cdot 2,$$

$$2^5\cdot 15^6=2^5\cdot 15^5\cdot 15=(2\cdot 15)^5\cdot 15=30^5\cdot 15.$$

Так как $$2<15$$, то

$$30^5\cdot 2<30^5\cdot 15,$$

следовательно,

$$15^5\cdot 2^6<2^5\cdot 15^6.$$

3) Сравним выражения.

$$2^5\cdot 3^3\cdot 5^4 \text{ и } 2^4\cdot 3^5\cdot 5^3.$$

Преобразуем:

$$2^5\cdot 3^3\cdot 5^4=(2\cdot 3\cdot 5)^3\cdot 2^2\cdot 5=30^3\cdot 4\cdot 5=30^3\cdot 20,$$

$$2^4\cdot 3^5\cdot 5^3=(2\cdot 3\cdot 5)^3\cdot 2\cdot 3^2=30^3\cdot 2\cdot 9=30^3\cdot 18.$$

Так как $$20>18$$, то

$$2^5\cdot 3^3\cdot 5^4>2^4\cdot 3^5\cdot 5^3.$$

Ответ

$$(0;0),\ (0;-2),\ (-1;0),\ (1;0);$$

1) $$15^5\cdot 2^6<2^5\cdot 15^6;$$

2) $$2^5\cdot 3^3\cdot 5^4>2^4\cdot 3^5\cdot 5^3.$$