Упр.1141 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решённую задачу по алгебре насчитывалось 2 балла, а за задачу по геометрии — 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача? Найдите все возможные ответы.
- При каком значении $$x$$ верно равенство:
1) $$5^x-5^6=5^{24}$$;
2) $$(3^m)^x=3^{5m}$$;
3) $$2^x\cdot2^m=2^{6m}$$;
4) $$(4^x)^{3m}=4^{6m^2}$$,
где $$m$$ — натуральное число?
1) Пусть по алгебре было $$x$$ задач, а по геометрии — $$y$$ задач. Тогда по условию
$$2x+3y=24.$$
Так как по каждому предмету была хотя бы одна задача, то $$x \ge 1$$, $$y \ge 1$$. Выразим $$y$$:
$$3y=24-2x,$$
$$y=\frac{24-2x}{3}.$$
Чтобы $$y$$ было натуральным числом, подойдут значения $$x$$, при которых $$24-2x$$ делится на 3. Проверим возможные значения:
при $$x=3$$, $$y=6$$;
при $$x=6$$, $$y=4$$;
при $$x=9$$, $$y=2$$.
Значит, возможны такие варианты: $$3$$ задачи по алгебре и $$6$$ по геометрии; $$6$$ задач по алгебре и $$4$$ по геометрии; $$9$$ задач по алгебре и $$2$$ по геометрии.
2) Решим уравнения:
$$5^x \cdot 5^6=5^{24}$$
$$5^{x+6}=5^{24}$$
$$x+6=24$$
$$x=18.$$
$$\left(3^m\right)^x=3^{5m}$$
$$3^{mx}=3^{5m}$$
$$mx=5m$$
$$x=5.$$
$$2^x \cdot 2^m=2^{6m}$$
$$2^{x+m}=2^{6m}$$
$$x+m=6m$$
$$x=5m.$$
$$\left(4^x\right)^{3m}=4^{6m^2}$$
$$4^{3mx}=4^{6m^2}$$
$$3mx=6m^2$$
$$x=2m.$$
Ответ
1) $$3$$ и $$6$$; $$6$$ и $$4$$; $$9$$ и $$2$$.
2) $$x=18$$; $$x=5$$; $$x=5m$$; $$x=2m$$.
