Упр.1131 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$x^2+y^2=0$$; 2) $$(x+2)^2+(y-3)^2=0$$; 3) $$x^4+y^6=-4$$.
2. Докажите, что при любом целом значении $$a$$ значение выражения $$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$$ делится нацело на $$3$$.

1. $$x^2+y^2=0$$

   Так как $$x^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$, то сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только при

   $$x=0,\quad y=0.$$

2. $$\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$

   Аналогично, сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x+2=0,\quad y-3=0.$$

   Отсюда

   $$x=-2,\quad y=3.$$

3. $$x^4+y^6=-4$$

   Но $$x^4 \ge 0$$ и $$y^6 \ge 0$$ при любых действительных $$x$$ и $$y$$, значит левая часть не может быть отрицательной. Следовательно, решений нет.

Проверим делимость выражения на $$3$$:

$$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$$

Раскроем скобки:

$$(a-3)(a^2-a+2)=a^3-4a^2+5a-6$$

$$a(a-2)^2=a(a^2-4a+4)=a^3-4a^2+4a$$

Тогда

$$(a^3-4a^2+5a-6)-(a^3-4a^2+4a)+2a=3a-6=3(a-2).$$

Значит, выражение делится нацело на $$3$$ при любом целом значении $$a$$.

Ответ

1) $$x=0,\ y=0$$; 2) $$x=-2,\ y=3$$; 3) решений нет; выражение делится на $$3$$.