Упр.1108 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом значении $$x$$ значение выражения $$|x|-x$$ больше соответствующего значения выражения $$2x-x^2-2$$.
2. Имеем два сплава меди и цинка. Один сплав содержит $$9\%$$, а другой — $$30\%$$ цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой $$300\ \text{кг}$$, содержащий $$23\%$$ цинка?

Рассмотрим разность:

$$2x-x^2-2=-(x^2-2x+1+1)=-(x-1)^2-1.$$

Так как $$(x-1)^2 \ge 0,$$ то

$$-(x-1)^2-1<0.$$

С другой стороны,

$$|x|-x\ge 0,$$

так как $$|x|\ge x.$$

Значит,

$$|x|-x>2x-x^2-2.$$

Ответ

$$|x|-x>2x-x^2-2$$ при любом значении $$x$$.

Пусть надо взять $$x$$ кг одного сплава и $$y$$ кг другого сплава. Тогда составим систему:

$$\begin{cases} x+y=300, \\ 0{,}09x+0{,}3y=300\cdot 0{,}23. \end{cases}$$

Так как $$300\cdot 0{,}23=69,$$ получаем:

$$\begin{cases} x+y=300, \\ 0{,}09x+0{,}3y=69. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$y=300-x$$. Подставим во второе:

$$0{,}09x+0{,}3(300-x)=69,$$

$$0{,}09x+90-0{,}3x=69,$$

$$-0{,}21x=-21,$$

$$x=100.$$

Тогда

$$y=300-100=200.$$

Ответ

$$100$$ кг первого сплава и $$200$$ кг второго сплава.