Упр.1105 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n,\; n+1,\; n+2.$$

Рассмотрим сумму их кубов:

$$n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$$

Раскроем скобки:

$$n^3+\bigl(n^3+3n^2+3n+1\bigr)+\bigl(n^3+6n^2+12n+8\bigr)$$

$$=3n^3+9n^2+15n+9$$

Вынесем общий множитель 3:

$$3n^3+9n^2+15n+9=3\bigl(n^3+3n^2+5n+3\bigr)$$

Следовательно, сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Ответ

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.