Задание 10 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения $$(n^2 — 7)(n — 6) — (n^2 + 3)(n — 5) + n(n + 48)$$ делится нацело на 19.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(n^2-7)(n-6)-(n^2+3)(n-5)+n(n+48)=$$
$$= n^3-6n^2-7n+42-\left(n^3-5n^2+3n-15\right)+n^2+48n$$
$$= n^3-6n^2-7n+42-n^3+5n^2-3n+15+n^2+48n$$
$$= 38n+57$$

Вынесем 19 за скобки:

$$38n+57=19(2n+3)$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$19$$ при любом натуральном значении $$n$$.

Ответ

$$19(2n+3)$$