Упр.1097 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Постройте график функции: 1) $$y=-|x|$$; 2) $$y=x-|x|$$; 3) $$y=3x+2|x|$$.
- Задача из индийского фольклора. Один говорит другому: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Другой отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?
1) Для функции $$y=-|x|$$ рассмотрим модуль по частям:
$$|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$
Тогда
$$y=-|x|=\begin{cases} -x, & x\ge 0,\\ x, & x<0. \end{cases}$$
График состоит из двух лучей с вершиной в точке $$\left(0,0\right)$$ и направлен вниз.
2) Для функции $$y=x-|x|$$ получаем:
$$y=\begin{cases} x-x=0, & x\ge 0,\\ x-(-x)=2x, & x<0. \end{cases}$$
Значит, при $$x\ge 0$$ график совпадает с осью $$Ox$$, а при $$x<0$$ это луч прямой $$y=2x$$.
3) Для функции $$y=3x+2|x|$$:
$$y=\begin{cases} 3x+2x=5x, & x\ge 0,\\ 3x+2(-x)=x, & x<0. \end{cases}$$
Следовательно, при $$x\ge 0$$ строим луч прямой $$y=5x$$, а при $$x<0$$ — луч прямой $$y=x$$. Обе части соединяются в точке $$\left(0,0\right)$$.
4) Пусть у одного было $$x$$ рупий, у другого — $$y$$ рупий. Тогда по условию:
$$\begin{cases} x+100=2(y-100),\\ y+10=6(x-10). \end{cases}$$
Преобразуем систему:
$$\begin{cases} x+100=2y-200,\\ y+10=6x-60, \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-2y=-300,\\ 6x-y=70. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=2y-300.$$
Подставим во второе:
$$6(2y-300)-y=70$$
$$12y-1800-y=70$$
$$11y=1870$$
$$y=170.$$
Тогда
$$x=2\cdot170-300=40.$$
Ответ
1) $$y=\begin{cases}-x, & x\ge 0,\\ x, & x<0.\end{cases}$$
2) $$y=\begin{cases}0, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0.\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}5x, & x\ge 0,\\ x, & x<0.\end{cases}$$
4) $$170$$ рупий было у одного и $$40$$ рупий у другого.
