Упр.1074 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Не выполняя построения графика функции $$y=-7x+8$$, найдите точку этого графика, у которой абсцисса и ордината — противоположные числа.
2. Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на $$3$$, кратна $$3$$.

Пусть абсцисса и ордината точки графика — противоположные числа. Тогда можно обозначить их так: $$y=-x.$$

Подставим это в уравнение прямой $$y=-7x+8$$:

$$-x=-7x+8 \\ 6x=8 \\ x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

Тогда

$$y=-x=-\frac{4}{3}$$

Следовательно, искомая точка графика:

$$\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right).$$

Докажем, что разность квадратов двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на 3, кратна 3.

Если натуральное число не делится на 3, то оно имеет вид $$3n+1$$ или $$3n-1$$.

Рассмотрим два таких числа: $$3n+1$$ и $$3n-1$$. Тогда

$$(3n+1)^2-(3n-1)^2 = (9n^2+6n+1)-(9n^2-6n+1) =12n$$

Так как $$12n$$ делится на 3, то и разность квадратов данных чисел кратна 3.

Ответ

$$\left(\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right),$$ разность квадратов кратна 3.