Упр.1070 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Постройте в одной системе координат графики функций $$y=5x-6$$ и $$y=-2x+1$$ и найдите координаты точки их пересечения.
2. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} \dfrac{1}{x}-\dfrac{7}{y}=6,\\ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=46. \end{cases}$$

1) Найдём точку пересечения графиков функций $$y=5x-6$$ и $$y=-2x+1$$. Для этого приравняем правые части:

$$5x-6=-2x+1$$

$$7x=7$$

$$x=1$$

Подставим значение $$x$$ в любое из уравнений:

$$y=5\cdot 1-6=-1$$

Точка пересечения графиков: $$\left(1;\,-1\right)$$.

2) Решим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}-\dfrac{7}{y}=6,\\ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=46. \end{cases}$$

Обозначим $$a=\dfrac{1}{x}$$, $$b=\dfrac{1}{y}$$. Тогда получаем систему:

$$\begin{cases} a-7b=6,\\ 2a+3b=46. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$\begin{cases} 2a-14b=12,\\ 2a+3b=46. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$17b=34$$

$$b=2$$

Тогда

$$a-7\cdot 2=6$$

$$a=20$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$\dfrac{1}{x}=20 \Rightarrow x=\dfrac{1}{20}$$

$$\dfrac{1}{y}=2 \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}$$

3) Решим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{9}{x+4y}-\dfrac{6}{5x-y}=-2,\\ \dfrac{3}{x+4y}+\dfrac{18}{5x-y}=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} \dfrac{27}{x+4y}-\dfrac{18}{5x-y}=-6,\\ \dfrac{3}{x+4y}+\dfrac{18}{5x-y}=1. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$\dfrac{30}{x+4y}=-5$$

$$x+4y=-6$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\dfrac{9}{-6}-\dfrac{6}{5x-y}=-2$$

$$-\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{5x-y}=-2$$

$$-\dfrac{6}{5x-y}=-\dfrac{1}{2}$$

$$5x-y=12$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+4y=-6,\\ 5x-y=12. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=5x-12$$

Подставим в первое:

$$x+4(5x-12)=-6$$

$$21x=42$$

$$x=2$$

$$y=5\cdot 2-12=-2$$

Ответ

$$\left(1;\,-1\right),\ \left(\dfrac{1}{20};\dfrac{1}{2}\right),\ \left(2;\,-2\right)$$