Упр.1067 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Не выполняя построения графика функции $$y=1,8x-3$$, определите, через какие из данных точек проходит этот график: $$A(-2;-6,6)$$; $$B(1;1,2)$$; $$C(0;-3)$$; $$D(5;7)$$.
Решите уравнение:

1) $$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$;

2) $$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$;

3) $$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$;

4) $$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$;

5) $$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$.

Подробный ответ

Подставим координаты точек в уравнение прямой $$y=1{,}8x-3$$ и проверим, выполняется ли равенство.

Для точки $$A(-2;\,-6{,}6)$$:
$$1{,}8\cdot(-2)-3=-3{,}6-3=-6{,}6,$$
значит, точка лежит на графике.

Для точки $$B(1;\,1{,}2)$$:
$$1{,}8\cdot1-3=1{,}8-3=-1{,}2,$$
значит, точка не лежит на графике.

Для точки $$C(0;\,-3)$$:
$$1{,}8\cdot0-3=-3,$$
значит, точка лежит на графике.

Для точки $$D(5;\,7)$$:
$$1{,}8\cdot5-3=9-3=6,$$
а $$7\ne6,$$ значит, точка не лежит на графике.

Решим уравнения.

$$(x+y)^2+(x-3)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} x+y=0,\\ x-3=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=3,$$ $$y=-3.$$
$$(x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0$$
Заметим, что
$$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2.$$
Тогда
$$(x+2y-3)^2+(x-2y)^2=0.$$
Значит,
$$\begin{cases} x+2y-3=0,\\ x-2y=0. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=3,\quad x=1{,}5.$$
Тогда
$$1{,}5-2y=0,\quad y=0{,}75.$$
$$|x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0$$
Каждое слагаемое неотрицательно, значит, оба равны нулю:
$$\begin{cases} x-3y-6=0,\\ 9x+6y-32=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2x-6y=12.$$
Складываем с вторым:
$$11x=44,\quad x=4.$$
Тогда
$$4-3y=6,\quad y=-\frac{2}{3}.$$
$$x^2+y^2+10x-12y+61=0$$
Выделим полные квадраты:
$$x^2+10x+25+y^2-12y+36=0,$$
$$(x+5)^2+(y-6)^2=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} x+5=0,\\ y-6=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=-5,$$ $$y=6.$$
$$25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$25x^2-30xy+9y^2+y^2+8y+16=0,$$
$$(5x-3y)^2+(y+4)^2=0.$$
Значит,
$$\begin{cases} 5x-3y=0,\\ y+4=0. \end{cases}$$
Тогда $$y=-4,$$ и
$$5x-3(-4)=0,\quad 5x=-12,\quad x=-2{,}4.$$