Упр.1041 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом нечётном значении $$n$$ значение выражения $$(4n+1)^2-(n+4)^2$$ кратно 120.
2. В школе 50% учащихся занимаются в спортивных секциях, из них 6% поют в хоре. Сколько процентов учащихся школы одновременно занимаются спортом и поют в хоре?

1) Докажем делимость выражения на $$120$$:

$$(4n+1)^2-(n+4)^2$$
$$= (16n^2+8n+1)-(n^2+8n+16)$$
$$= 15n^2-15$$
$$= 15(n^2-1)$$
$$= 15(n-1)(n+1).$$

Так как $$n$$ — нечётное число, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ — чётные. Значит, одно из них делится на $$4$$, а другое — на $$2$$. Следовательно, произведение $$(n-1)(n+1)$$ делится на $$8$$.

Тогда выражение $$15(n-1)(n+1)$$ делится на $$15 \cdot 8 = 120$$.

2) Найдём, сколько процентов учащихся одновременно занимаются спортом и поют в хоре.

Если в школе $$100\%$$ учащихся, то в спортивных секциях занимаются $$50\%$$, а из них поют в хоре $$6\%$$.

$$50\% \cdot 6\% = 0{,}5 \cdot 0{,}06 = 0{,}03 = 3\%.$$

Ответ

$$(4n+1)^2-(n+4)^2$$ кратно $$120$$; $$3\%$$.