Упр.1023 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Принадлежит ли графику функции $$y=-\frac{x}{3}$$ точка: 1) $$A(9;-3)$$; 2) $$B(6;2)$$; 3) $$C(-1;3)$$; 4) $$D(-12;4)$$?
Подберите такие значения $$a$$ и $$b$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}x-2y=3,\\ ax+4y=b\end{cases}$$: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений.

Подробный ответ

Проверим, удовлетворяют ли координаты точек уравнению $$y=-\frac{x}{3}.$$

1) $$A(9;-3): \quad -\frac{9}{3}=-3,$$ значит, точка принадлежит графику.

2) $$B(6;2): \quad -\frac{6}{3}=-2,$$ а $$2\ne -2,$$ значит, точка не принадлежит графику.

3) $$C(-1;3): \quad -\frac{-1}{3}=\frac{1}{3},$$ а $$3\ne \frac{1}{3},$$ значит, точка не принадлежит графику.

4) $$D(-12;4): \quad -\frac{-12}{3}=4,$$ значит, точка принадлежит графику.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x-2y=3,\\ ax+4y=b. \end{cases}$$

1) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Умножим первое уравнение на $$-2$$:

$$x-2y=3 \;\Rightarrow\; -2x+4y=-6.$$

Тогда нужно, чтобы

$$a=-2,\quad b=-6.$$

2) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Это возможно, если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не пропорциональны, то есть

$$a\ne -2.$$

При этом $$b$$ может быть любым числом.

3) Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Значит, коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$a=-2,\quad b\ne -6.$$