Упр.1007 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Какая из пар чисел (-2; 1); (2; -1); (6; 4); (8; —4) является решением системы уравнений
система
3х -8у = -14,
4х + у = 28 ?

1) Из данных равенств сложим левые и правые части:

$$ (x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1. $$

Левая часть равна $$2(x+y+z)$$, значит

$$ 2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1. $$

Тогда

$$ x+y+z=\frac12\left(\frac{a^2}{4}-a+1\right)=\frac{a^2-4a+4}{8}=\frac{(a-2)^2}{8}. $$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$ \frac{(a-2)^2}{8}\ge 0. $$

Следовательно, выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

2) Проверим пары чисел в системе

$$ \begin{cases} 3x-8y=-14,\\ 4x+y=28. \end{cases} $$

Пара $$(-2;1)$$:

$$ 3\cdot(-2)-8\cdot1=-6-8=-14,\qquad 4\cdot(-2)+1=-8+1=-7\ne 28. $$

Не подходит.

Пара $$(2;-1)$$:

$$ 3\cdot2-8\cdot(-1)=6+8=14\ne -14. $$

Не подходит.

Пара $$(6;4)$$:

$$ 3\cdot6-8\cdot4=18-32=-14,\qquad 4\cdot6+4=24+4=28. $$

Подходит.

Пара $$(8;-4)$$:

$$ 3\cdot8-8\cdot(-4)=24+32=56\ne -14. $$

Не подходит.

Ответ

$$ x+y+z=\frac{(a-2)^2}{8}\ge 0. $$
Решение системы: $$(6;4)$$.