Упр.1007 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Известно, что $$x+y=\frac{a^2}{4}$$; $$y+z=-a$$; $$x+z=1$$. Докажите, что выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.
2. Задание учебника 2021 года. Какая из пар чисел $$(-2; 1)$$; $$(2; -1)$$; $$(6; 4)$$; $$(8; -4)$$ является решением системы уравнений
   $$\begin{cases} 3x-8y=-14,\\ 4x+y=28? \end{cases}$$

1) Из данных равенств сложим левые и правые части:

$$(x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1.$$

Левая часть равна $$2(x+y+z)$$, значит

$$2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1.$$

Тогда

$$x+y+z=\frac12\left(\frac{a^2}{4}-a+1\right)=\frac{a^2-4a+4}{8}=\frac{(a-2)^2}{8}.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\frac{(a-2)^2}{8}\ge 0.$$

Следовательно, выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

2) Проверим пары чисел в системе

$$\begin{cases} 3x-8y=-14,\\ 4x+y=28. \end{cases}$$

Пара $$(-2;1)$$:

$$3\cdot(-2)-8\cdot1=-6-8=-14,\qquad 4\cdot(-2)+1=-8+1=-7\ne 28.$$

Не подходит.

Пара $$(2;-1)$$:

$$3\cdot2-8\cdot(-1)=6+8=14\ne -14.$$

Не подходит.

Пара $$(6;4)$$:

$$3\cdot6-8\cdot4=18-32=-14,\qquad 4\cdot6+4=24+4=28.$$

Подходит.

Пара $$(8;-4)$$:

$$3\cdot8-8\cdot(-4)=24+32=56\ne -14.$$

Не подходит.

Ответ

$$x+y+z=\frac{(a-2)^2}{8}\ge 0.$$
Решение системы: $$(6;4)$$.