Упр.10.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 10.401. Докажите, что не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых многочлены $$-5x^2+3xy+4y^2$$ и $$6x^2-3xy-y^2$$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Рассмотрим сумму данных многочленов:

$$(-5x^2+3xy+4y^2)+(6x^2-3xy-y^2)$$

$$=-5x^2+3xy+4y^2+6x^2-3xy-y^2$$

$$=x^2+3y^2$$

Так как $$x^2 \ge 0$$ и $$3y^2 \ge 0$$ при любых значениях $$x$$ и $$y$$, то

$$x^2+3y^2 \ge 0.$$

Если бы оба многочлена одновременно были отрицательными, то их сумма тоже была бы отрицательной. Но сумма неотрицательна при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.

Ответ

Не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена одновременно принимали бы отрицательные значения.