Упр.10.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых многочлены $$5x^2-6xy-7y^2$$ и $$-3x^2+6xy+8y^2$$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Рассмотрим сумму данных многочленов:

$$(5x^2-6xy-7y^2)+(-3x^2+6xy+8y^2)=2x^2+y^2.$$

Так как $$2x^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$ при любых значениях $$x$$ и $$y$$, то

$$2x^2+y^2 \ge 0.$$

Если бы оба многочлена одновременно были отрицательными, то их сумма тоже была бы отрицательной. Но сумма неотрицательна при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, таких значений $$x$$ и $$y$$ не существует.

Ответ

Не существует таких значений $$x$$ и $$y$$, при которых оба многочлена одновременно принимали бы отрицательные значения.