Упр.10.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 10.39. Докажите, что: 1) сумма чисел $$\overline{abc}$$, $$\overline{bca}$$ и $$\overline{cab}$$ кратна $$111$$; 2) разность числа $$\overline{abc}$$ и суммы его цифр делится нацело на $$9$$.

1) Запишем числа через их разрядные слагаемые:

$$\overline{abc}=100a+10b+c,$$

$$\overline{bca}=100b+10c+a,$$

$$\overline{cab}=100c+10a+b.$$

Тогда

$$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} =(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$$

$$=111a+111b+111c=111(a+b+c).$$

Следовательно, сумма этих чисел кратна $$111$$.

2) Найдём разность числа $$\overline{abc}$$ и суммы его цифр:

$$\overline{abc}-(a+b+c)=100a+10b+c-a-b-c$$

$$=99a+9b=9(11a+b).$$

Значит, эта разность делится нацело на $$9$$.

Ответ

1) $$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111(a+b+c)$$, поэтому сумма кратна $$111$$.

2) $$\overline{abc}-(a+b+c)=9(11a+b)$$, поэтому разность делится на $$9$$.