Упр.10.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

10. 38. Докажите, что:
    1) сумма чисел $$\overline{ab}$$, $$\overline{bc}$$ и $$\overline{ca}$$ делится нацело на $$11$$;
    2) разность чисел $$\overline{abc}$$ и $$\overline{cba}$$ делится нацело на $$99$$.

1) Представим двузначные числа через цифры:

$$\overline{ab}=10a+b,\quad \overline{bc}=10b+c,\quad \overline{ca}=10c+a.$$

Тогда

$$\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca} =(10a+b)+(10b+c)+(10c+a) =11a+11b+11c =11(a+b+c).$$

Следовательно, сумма делится нацело на $$11$$.

2) Аналогично,

$$\overline{abc}=100a+10b+c,\quad \overline{cba}=100c+10b+a.$$

Тогда

$$\overline{abc}-\overline{cba} =(100a+10b+c)-(100c+10b+a) =99a-99c =99(a-c).$$

Значит, разность делится нацело на $$99$$.

Ответ

1) $$\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$$ делится на $$11$$; 2) $$\overline{abc}-\overline{cba}$$ делится на $$99$$.