Упр.10.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 10.34. Докажите, что выражение (2x^4+4x-1)-(x^4+8+9x)+(5x+x^2-3x^4 ) принимает отрицательное значение при любом значении x. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x?

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$ (2x^4+4x-1)-(x^4+8+9x)+(5x+x^2-3x^4) $$
$$ =2x^4+4x-1-x^4-8-9x+5x+x^2-3x^4 $$
$$ =-2x^4+x^2-9. $$

Так как для любого $$x$$ верно $$x^4 \ge x^2$$, то

$$ -2x^4 \le -2x^2. $$

Тогда

$$ -2x^4+x^2-9 \le -2x^2+x^2-9=-x^2-9 \le -9. $$

Значит, выражение всегда отрицательно и не превосходит $$-9$$.
Равенство $$-9$$ достигается при $$x=0$$.

Ответ

Выражение принимает отрицательное значение при любом $$x$$. Наибольшее значение равно $$-9$$ и достигается при $$x=0$$.