Упр.10.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 10.34. Докажите, что выражение $$\left(2x^4+4x-1\right)-\left(x^4+8+9x\right)+\left(5x+x^2-3x^4\right)$$ принимает отрицательное значение при любом значении $$x$$. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении $$x$$?

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(2x^4+4x-1)-(x^4+8+9x)+(5x+x^2-3x^4)$$
$$=2x^4+4x-1-x^4-8-9x+5x+x^2-3x^4$$
$$=-2x^4+x^2-9.$$

Так как для любого $$x$$ верно $$x^4 \ge x^2$$, то

$$-2x^4 \le -2x^2.$$

Тогда

$$-2x^4+x^2-9 \le -2x^2+x^2-9=-x^2-9 \le -9.$$

Значит, выражение всегда отрицательно и не превосходит $$-9$$.
Равенство $$-9$$ достигается при $$x=0$$.

Ответ

Выражение принимает отрицательное значение при любом $$x$$. Наибольшее значение равно $$-9$$ и достигается при $$x=0$$.